Propiedades de las sucesiones

Propiedades del límite finito de sucesiones

Unicidad del límite

Si una sucesión tiene límite es único.

H) lim an = b
T) b es único

Demostración:
La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que an tiene dos límites distintos b y c.
Suponemos que b > c.

lim an = b => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n1 natural / para todo n > n1 b - ε < an < b + ε;

lim an = c => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n2 natural / para todo n > n2 c - ε < an < c + ε

Consideremos un ε tal que c+ε < b-ε, o sea ε < (b - c)/2


Sea N = max {n1,n2}

Para todo n > N se cumple

b - ε < an < b + ε
c - ε < an < c + ε
Absurdo, pues an no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.

Límite de la sucesión comprendida

Si una sucesión está comprendida entre otras dos que tienen igual límite, entonces tiene el mismo límite.

H) lim an = lim bn = p
    Para todo n > n0 an <= cn <= bn
T) lim cn = p

Demostración:
lim an = p => (por def. de límite de una sucesión) para todo ε1 > 0 existe n1 natural / para todo n > n1 p - ε1 < an < p + ε1

lim bn = p => (por def. de límite de una sucesión) para todo ε2 > 0 existe n2 natural / para todo n > n2 p - ε2 < bn < p + ε2

Sea N = max {n0, n1, n2}

Para todo n > N se cumple p-ε1 < an <= cn <= bn < p+ε2

p-ε1 < cn < p+ε2

Sea ε = min {ε1, ε2}

Para todo n > N p-ε < cn < p+ε

=> (por def. de límite de una sucesión) lim cn = p.