Operaciones con limites

Operaciones con límites

El límite de la suma, producto y cociente de sucesiones se determina por las mismas reglas que para las funciones de variable continua. Las demostraciones son iguales, basta sustituir f(x) por an y considerar que la tendencia siempre es hacia +infinito. Aquí sólo demostraremos el límite de una suma. Para ver las demás reglas visitar la página sobre operaciones con límites.

Límite de la suma

Si dos sucesiones tienen límite finito, entonces su suma tiene límite finito y es igual a la suma de esos límites.

H) lim an = a, lim bn = b
T) lim an + bn = a + b

Demostración:
Queremos probar que, dado ε > 0, existe N > 0 tal que para todo n > N |(an + bn) - (a+b)| < ε.

Sea ε' = ε/2

lim an = a => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε' > 0 existe n0 natural / para todo n > n0 |an - a| < ε'.

lim bn = b => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε' > 0 existe n1 natural / para todo n > n1 |bn - b| < ε'.

Sea N = max {n0, n1}

Para todo n > N se cumple:

|an - a| < ε'
|bn - b| < ε'
=> |an - a| + |bn - b| < 2ε' = ε

|(an + bn) - (a+b)| = |(an - a) + (bn - b)| <= (*) |an - a| + |bn - b| < ε

(*) Desigualdad triangular: |x + y| <= |x| + |y|

Resumiendo, dado ε>0 existe N / para todo n > N |(an + bn) - (a+b)| < ε

=> (por def. de límite finito de una sucesión) lim an + bn = a + b

Definición

Sucesiones equivalentes

Dos sucesiones se dicen equivalentes cuando el límite de su cociente es 1.

Definición

Sucesión acotada

M es cota superior de la sucesión an si an < M para todo n.
m es cota inferior de la sucesión an si an > m para todo n.
Una sucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.