Matemáticas 2: Calculo Integral: Convergencia de Series

Una serie ∑a_n se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión S_N de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de S_N es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de la serie.

$\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_n.$

Si todos los a_n son cero para n suficientemente grande, la serie se puede identificar con una suma finita. El estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen infinitos términos no nulos. Por ejemplo, el número periódico

$x = 0.111\dots \,$

tiene como representación decimal, la serie

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}$ .

Dado que estas series siempre convergen en los números reales (ver: espacio completo), no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, 0.111… y ¹/₉; o bien 1=0,9999...

Sumas parciales

La sucesión de sumas parciales $\{S_k\}\$ asociada a una sucesión $\{a_n\}\$ está definida para cada $k\$ como la suma de la sucesión $\{a_n\}\$ desde $a_0\$ hasta $a_k\$ :

$S_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k$ .

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Matemáticas 2: Calculo Integral

domingo, 3 de junio de 2012

Convergencia de Series

Sumas parciales

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