Matemáticas 2: Calculo Integral: junio 2012

domingo, 3 de junio de 2012

Convergencia de Series

Una serie ∑a_n se dice que es convergente (o que converge) si la sucesión S_N de sumas parciales tiene un límite finito. Si el límite de S_N es infinito o no existe, se dice que la serie diverge. Cuando este límite existe, se le llama suma de la serie.

$\sum_{n=0}^\infty a_n = \lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \sum_{n=0}^N a_n.$

Si todos los a_n son cero para n suficientemente grande, la serie se puede identificar con una suma finita. El estudio de la convergencia de series, se centra en las propiedades de las series infinitas que incluyen infinitos términos no nulos. Por ejemplo, el número periódico

$x = 0.111\dots \,$

tiene como representación decimal, la serie

$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{10^n}$ .

Dado que estas series siempre convergen en los números reales (ver: espacio completo), no hay diferencia entre este tipo de series y los números decimales que representan. Por ejemplo, 0.111… y ¹/₉; o bien 1=0,9999...

Sumas parciales

La sucesión de sumas parciales $\{S_k\}\$ asociada a una sucesión $\{a_n\}\$ está definida para cada $k\$ como la suma de la sucesión $\{a_n\}\$ desde $a_0\$ hasta $a_k\$ :

$S_k = \sum_{n=0}^{k}a_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_k$ .

Muchas de las propiedades generales de las series suelen enunciarse en términos de las sumas parciales asociadas.

Tipos de Series

Una serie geométrica es una serie en la cual cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante, llamada razón r. En este ejemplo, con r = 1/2):

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 4} + {1 \over 8} + {1 \over 16} + \cdots=\sum_{n=0}^{\infty}{1 \over 2^{n}}.$

En general, una serie geométrica es convergente, sólo si |r| < 1, a:

La serie armónica es la serie

$1 + {1 \over 2} + {1 \over 3} + {1 \over 4} + {1 \over 5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty {1 \over n}.$

La serie armónica es divergente.

Una serie alternada es una serie donde los términos cambian de signo:

$1 - {1 \over 2} + {1 \over 3} - {1 \over 4} + {1 \over 5} - \cdots =\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} {1 \over n}.$

Una serie telescópica es la suma $\textstyle \sum a_n$ , donde a_n = b_n − b_n+1:

$\sum_{n=0}^N ( b_{n}-b_{n+1} )$

La convergencia de dicha serie y su suma se pueden calcular fácilmente, ya que:

$S_N=(b_0-b_1)+(b_1-b_2) + \cdots + (b_{N-1} - b_{N}) +(b_N - b_{N+1}) = b_0 - b_{N+1}$

Una serie hipergeométrica es una serie de la forma:

$\sum_{n=0}^{\infty} a_n\,$ , con ${a_{n+1}\over a_n}\,$ = ${\alpha n + \beta}\over {\alpha n + \gamma}\,$ .

Definición de series

En matemáticas, una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita. Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a₁ + a₂ + a₃ + · · lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: $\sum a_n$ .

El estudio de las series consiste en la evaluación de la suma de un número finito n de términos sucesivos, y mediante un pasaje al límite identificar el comportamiento de la serie a medida que ncrece indefinidamente.

Una secuencia o cadena «finita», tiene un primer y último término bien definidos; en cambio en una serie infinita, cada uno de los términos suele obtenerse a partir de una determinada regla o fórmula, o por algún algoritmo. Al tener infinitos términos, esta noción suele expresarse como serie infinita, pero a diferencia de las sumas finitas, las series infinitas requieren de herramientas del análisis matemático para ser debidamente comprendidas y manipuladas. Existe una gran cantidad de métodos para determinar la naturaleza de convergencia o no-convergencia de las series matemáticas, sin realizar explícitamente los cálculos.

Operaciones con limites

Operaciones con límites

El límite de la suma, producto y cociente de sucesiones se determina por las mismas reglas que para las funciones de variable continua. Las demostraciones son iguales, basta sustituir f(x) por an y considerar que la tendencia siempre es hacia +infinito. Aquí sólo demostraremos el límite de una suma. Para ver las demás reglas visitar la página sobre operaciones con límites.

Límite de la suma

Si dos sucesiones tienen límite finito, entonces su suma tiene límite finito y es igual a la suma de esos límites.

H) lim an = a, lim bn = b
T) lim an + bn = a + b

Demostración:
Queremos probar que, dado ε > 0, existe N > 0 tal que para todo n > N |(an + bn) - (a+b)| < ε.

Sea ε' = ε/2

lim an = a => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε' > 0 existe n0 natural / para todo n > n0 |an - a| < ε'.

lim bn = b => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε' > 0 existe n1 natural / para todo n > n1 |bn - b| < ε'.

Sea N = max {n0, n1}

Para todo n > N se cumple:

|an - a| < ε'
|bn - b| < ε'
=> |an - a| + |bn - b| < 2ε' = ε

|(an + bn) - (a+b)| = |(an - a) + (bn - b)| <= (*) |an - a| + |bn - b| < ε

(*) Desigualdad triangular: |x + y| <= |x| + |y|

Resumiendo, dado ε>0 existe N / para todo n > N |(an + bn) - (a+b)| < ε

=> (por def. de límite finito de una sucesión) lim an + bn = a + b

Definición

Sucesiones equivalentes

Dos sucesiones se dicen equivalentes cuando el límite de su cociente es 1.

Definición

Sucesión acotada

M es cota superior de la sucesión an si an < M para todo n.
m es cota inferior de la sucesión an si an > m para todo n.
Una sucesión es acotada si tiene tanto cota superior como inferior.

Propiedades de las sucesiones

Propiedades del límite finito de sucesiones

Unicidad del límite

Si una sucesión tiene límite es único.

H) lim an = b
T) b es único

Demostración:
La demostración se hace por reducción al absurdo.
Suponemos que an tiene dos límites distintos b y c.
Suponemos que b > c.

lim an = b => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n1 natural / para todo n > n1 b - ε < an < b + ε;

lim an = c => (por def. de límite finito de una sucesión) para todo ε>0 existe n2 natural / para todo n > n2 c - ε < an < c + ε

Consideremos un ε tal que c+ε < b-ε, o sea ε < (b - c)/2

Sea N = max {n1,n2}

Para todo n > N se cumple

b - ε < an < b + ε
c - ε < an < c + ε
Absurdo, pues an no puede pertenecer a dos entornos disjuntos.
Absurdo de suponer b ≠ c.
Por lo tanto b = c.

Límite de la sucesión comprendida

Si una sucesión está comprendida entre otras dos que tienen igual límite, entonces tiene el mismo límite.

H) lim an = lim bn = p
Para todo n > n0 an <= cn <= bn
T) lim cn = p

Demostración:
lim an = p => (por def. de límite de una sucesión) para todo ε1 > 0 existe n1 natural / para todo n > n1 p - ε1 < an < p + ε1

lim bn = p => (por def. de límite de una sucesión) para todo ε2 > 0 existe n2 natural / para todo n > n2 p - ε2 < bn < p + ε2

Sea N = max {n0, n1, n2}

Para todo n > N se cumple p-ε1 < an <= cn <= bn < p+ε2

p-ε1 < cn < p+ε2

Sea ε = min {ε1, ε2}

Para todo n > N p-ε < cn < p+ε

=> (por def. de límite de una sucesión) lim cn = p.

Limite finito e infinito de una sucesión

Límite finito

lim an = a <=> para todo ε>0 existe N natural / para todo n > N a - ε < an < a + ε, o lo que es lo mismo, |an - a| < ε.

Para cualquier número positivo ε, por pequeño que sea, podemos encontrar un natural N suficientemente grande tal que a partir del índice N en adelante se tiene que |an - a| < ε.
Es decir, si tomamos un entorno de a de cualquier radio siempre habrá un subíndice N tal que desde N en adelante todos los términos de la sucesión pertenecen a dicho entorno.

Límite infinito de una sucesión

Consideremos la sucesión an = n2.

a1 = 1
a2 = 4
a3 = 9
a4 = 16
...
a10 = 100
...
a100 = 10.000
Al crecer n, an no tiende a un límite definido, sino que crece más allá de toda cota. Se dice que an tiende a infinito.

Límite infinito

lim an = +inf <=> para todo K>0 existe N natural / para todo n > N an > K.

Para cualquier número positivo K (tan grande como se quiera), podemos encontrar un natural N, tal que aN y todos los términos siguientes son mayores que K. Esto quiere decir que an puede hacerse mayor que cualquier cota, con tal de que n sea lo suficientemente grande.

Del mismo modo se define lim an = -inf <=> para todo K<0 existe N natural / para todo n > N an < K.

Definición de Sucesión

Definición de sucesión
Una sucesión es una función cuyo dominio son los números positivos.

Pueden describirse como una lista de números de la siguiente manera {a1, a2, a3, …. an}
Generados a partir de una función f. Así que la sucesión es un conjunto ordenado de números:
f(1), f(2), f(3), …, f(n)

Por lo cual los términos de una sucesión tienen una regla o patrón de aparición.

Ejemplo 1. De la lista siguiente: 1, 3, 5, 7, 9,… etc.
La regla de aparición es 2n -1.
Ejemplo 2. De la lista siguiente: 2, 4, 6, 8, 10, 12,…. Etc.
La regla de aparición es 2n.

Sucesión monótona creciente

Una sucesión es monotona creciente si se cumple para todo n natural an <an+1 (a1<=a2 <= a3 <= ... <= an)

Ejemplo: an= n es monótona creciente
a1= 1, a2= 2, a3= 3, a4= 4

Sucesión monótona decreciente

Una sucesion es monótona decreciente si se cumple para todo n natural an >an+1 (a1>=a2 >= a3 >= ... >= an)

an= 1/n es monótona decreciente
Ejemplo: a1=1, a2= 1/2, a3= 1/3, a4= 1/4,...

Unidad 4- Sucesiones y series

En esta unidad la experiencia cotidiana brinda un sentimiento intuitivo de la noción de una sucesión. Las palabras sucesión de eventos o sucesión de números sugiere un arreglo en el que los eventos E o los números n se establecen en algún orden: E1,E2,E3,... o n1, n2, n3, ....

Cualquier estudiante de matematicas tambien esta familiarizado con el hecho de que cualquier numero real puede escribirse como un decimal. Por ejemplo, el numero racional 1/3= 0.333..., donde los misteriosos tres puntos siginifica que los tres digitos se repiten eternamente. Eso quiere decir que el decimal 0.333... es una suma infinita o la serie infinita.
3/10 + 3/100 + 3/1000 + 3/10000 + ...
En esta unidad observaremos que los conceptos de sucesión y serie infinita están relacionados.